已知等边三角形的边长为3，点E在AC上，点f在bc上且AE=CF=1则AP.AF的值为

如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的

根据轴对称的性质可得AE=ED，在Rt△EDC中，利用60°角求得ED=

EC，列出方程EC+ED=（1+

）EC=3，解方程即可求解．
解：∵AE=ED
在Rt△EDC中，∠C=60°，ED⊥BC，
∴ED=

EC，
∴CE+ED=（1+

）EC=3，
∴CE=12-6

．
故答案为：12-6

．

已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE=1/2∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等边对等角的性质可得∠F=∠CEF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F=30°，从而得到∠CBE=∠F，根据等角对等边的性质即可证明；
（2）图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG=AE，从而可以求出BG=CE，再根据等角的补角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“边角边”证明△BGE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（3）图3，证明思路与方法与图2完全相同．
（1）答：猜想BE与EF的数量关系为：BE=EF；
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E是线段AC的中点，
∴∠CBE=1/2∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；
（2）答：猜想BE=EF．
证明如下：如图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
在△BGE与△ECF中，

，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF；
（3）BE=EF．
证明如下：如图3，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
∴在△BGE与△ECF中，

，

∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF．

等边三角形ABC中,AB=3,点D在直线BC上,点E在直线AC上,且∠BAD=∠CBE,当BD=1时,则AE？

2或4或9/2或9/4 解析分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可；分四种情形：①如图1中，当点D在边BC上，点E在边AC上时． ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABD＝∠BCE＝60°， ∵∠BAD＝∠CBE，∴△ABD≌△BCE（ASA），∴BD＝EC＝1，∴AE＝AC﹣EC＝2． ②如图2中，当点D在边BC上，点E在AC的延长线上时．作EF∥AB交BC的延长线于F． ∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°， ∴△ECF是等边三角形，设EC＝CF＝EF＝x， ∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，

已知三角形ABC是等边三角形，分别在AC,BC上去取点E,F，且AE=CF，BE、AF交于点D，则

已知三角形ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E,F，且AE=CF，BE、AF交于点D，则∠BDF=多少？在△BAE和△ACF中， AB = AC ，∠BAE = 60°= ∠ACF ，AE = CF ，所以，△BAE ≌ △ACF ，可得：∠ABE = ∠CAF ， ∠BDF = ∠ADE = ∠BEC-∠CAF = ∠BEC-∠ABE = ∠BAE = 60°。

（2014?锦州一模）如图，在边长为3的等边三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC边上的点，且满足AE=FC=CP

解答：证明：（1）在△AEF中，∵AE=1，AF=2，∠EAF=60°，
由余弦定理可得EF²=1²+2²-2×1×2×cos60°=3，
∴AE²+EF²=AF²，∴EF⊥AE．即A₁E⊥EF．
又平面A₁EF⊥平面FEBP，∴A₁E⊥平面FEBP．
∴A₁E⊥PF．
（2）取A₁E的中点M，连接QM，MF．
又∵Q为A₁B的中点，∴QM

∥

BE．
∵FC=CP=1，∠C=60°．
∴△CFP是等边三角形．
∴∠CPF=∠B=60°，
∴PF∥BE.PF＝

AB＝

BE．
∴QM

∥

PF．
∴四边形PQMF为平行四边形，
∴PQ∥MF．
∵MF?平面A₁EF，PQ?平面A₁EF．
∴PQ∥平面A₁EF．